|
KARTEZYEN ÇARPIM BAĞINTI
A. SIRALI n Lİ
n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir.
(a, b) sıralı ikilisinde;
a ya birinci bileşen, b ye ikinci bileşen denir.
|
a ¹ b ise, (a, b) ¹ (b, a) dır.
(a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir.
|
B. KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı denir.
A kartezyen çarpım B kümesi A ´ B ile gösterilir.
A ´ B = {(x, y) : x Î A ve y Î B} dir.
|
A ¹ B ise, A ´ B ¹ B ´ A dır.
|
C. KARTEZYEN ÇARPIMIN ÖZELİKLERİ
- 1) s(A) = m ve s(B) = n ise
s(A ´ B) = s(B ´ A) = m × n dir.
- A ´ (B ´ C) = (A ´ B) ´ C
- A ´ (B È C) = (A ´ B) È (A ´ C)
- (B È C) ´ A = (B ´ A) È (C ´ A)
- A ´ (B Ç C) = (A ´ B) Ç (A ´ C)
- (B Ç C) ´ A = (B ´ A) Ç (C ´ A)
- A ´ Æ = Æ ´ A = Æ
-
D. BAĞINTI
A ve B herhangi iki küme olmak üzere A ´ B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.
Bağıntı genellikle b ile gösterilir.
b Ì A ´ B ise, b = {(x, y) : (x, y) Î A ´ B} dir.
|
Ü
|
s(A) = m ve s(B) = n ise,
A dan B ye 2m×n tane bağıntı tanımlanabilir.
|
|
Ü
|
A ´ A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir.
|
|
Ü
|
s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r £ m × n) bağıntı sayısı
|
|
Ü
|
b Ì A ´ B olmak üzere,
b = {(x, y) : (x, y) Î A ´ B} bağıntısının tersi
b–1 Ì B ´ A dır.
Buna göre, b bağıntısının tersi
b–1 = {(y, x) : (x, y) Î b} dır.
|
E. BAĞINTININ ÖZELİKLERİ
b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.
1. Yansıma Özeliği
A kümesinin bütün x elemanları için (x, x) Î b ise, b yansıyandır.
"x Î A için, (x, x) Î b ise, b yansıyandır. (" : Her)
2. Simetri Özeliği
b bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) Î b ise, b simetriktir.
"(x, y) Î b için (y, x) Î b ise, b simetriktir.
|
Ü
|
b bağıntısı simetrik ise b = b–1 dir.
|
|
Ü
|
s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı dir.
|
|
Ü
|
s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı dir.
|
3. Ters Simetri Özeliği
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
x ¹ y iken "(x, y) Î b için (y, x) Ï b ise, b ters simetriktir.
|
b bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özeliğini bozmaz.
|
4. Geçişme Özeliği
b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.
"[(x, y) Î b ve (y, z) Î b] için (x, z) Î b ise,
b bağıntısının geçişme özeliği vardır.
|
Boş kümeden farklı bir A kümesinde tanımlanan b = Æ bağıntısında yansıma özeliği yoktur. Simetri, Ters simetri, geçişme özeliği vardır.
|
F. BAĞINTI ÇEŞİTLERİ
1. Denklik Bağıntısı
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
b; Yansıma, Simetri, Geçişme özeliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır.
|
Ü
|
b, A kümesinde tanımlı bir denklik bağıntısı olsun. (x, y) Î b ise x ve y elemanları b bağıntısına göre denktir denir ve x º y şeklinde yazılır.
|
|
Ü
|
b, A kümesinde tanımlı bir denklik bağıntısı olsun. A da x elemanına denk olan bütün elemanların kümesine x in denklik sınıfı denir ve şeklinde gösterilir. x in denklik sınıfının kümesi,
|
2. Sıralama Bağıntısı
A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özeliği varsa b sıralama bağıntısıdır.
Bir bağıntı hem denklik, hem de sıralama bağıntısı olabilir.
|
FONKSİYON
A. TANIM
A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun.
A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir.
"x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de değer kümesi denir.
Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}
biçiminde de gösterilir.
|
Ü
|
Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
|
|
Ü
|
Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
|
|
Ü
|
s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
i) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m × n – nm dir.
|
|
Ü
|
Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.
|
B. FONKSİYONLARDA İŞLEMLER
A Ç B ¹ Æ olmak üzere,
fonksiyonları tanımlansın.
- (f + g) : A Ç B ® , (f + g)(x) = f(x) + g(x)
- (f – g) : A Ç B ® , (f – g)(x) = f(x) – g(x)
- (f × g) : A Ç B ® , (f × g)(x) = f(x) × g(x)
- "x Î A Ç B için, g(x) ¹ 0 olmak üzere,
- c Î olmak üzere,
(c × f) : A ® , (c × f)(x) = c × f(x) tir.
C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir..
BBuna göre, bire bir fonksiyonda,
"x1, x2 Î A için, x1 ¹ x2 iken f(x1) ¹ f(x2) olur.
Diğer bir ifadeyle,
"x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2) iken
x1 = x2 ise, f fonksiyonu bire birdir.
|
Ü
|
s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı,
|
2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
|
Ü
|
f : A ® B
f(A) = B ise, f örtendir.
|
|
Ü
|
s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı,
m! = m × (m – 1) × (m – 2) × ... × 3 × 2 × 1 dir.
|
3. İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
|
Ü
|
İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
|
|
Ü
|
s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir.
|
4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
ise, f birim (etkisiz) fonksiyondur.
|
Ü
|
Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.
|
5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
|
Ü
|
"x Î A ve c Î B için,
f : A ® B
f(x) = c
ise, f sabit fonksiyondur.
|
|
Ü
|
s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.
|
6. Çift ve Tek Fonksiyon
f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
|
Ü
|
Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
|
|
Ü
|
Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
|
D. EŞİT FONKSİYON
f : A ® B
g : A ® B
Her x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.
E. PERMÜTASYON FONKSİYON
f : A ® A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
biçiminde gösterilir.
F. TERS FONKSİYON
f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,
f–1 : B ® A, f–1 = {(y, x)|(x, y) Î f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.
|
|
(x, y) Î f ise, (y, x) Î f–1 olduğu için,
y = f(x) ise, x = f–1(y) dir.
Ayrıca, (f–1)–1 = f dir.
|
|
(f–1)–1 = f dir. Ancak, (f–1(x))–1 ¹ f(x) tir.
|
|
f fonksiyonu bire bir ve örten değilse, f–1 fonksiyon değildir.
|
|
f : A ® B ise, f–1 : B ® A olduğu için, f nin tanım kümesi, f–1 in değer kümesidir. f nin değer kümesi de, f–1 in tanım kümesidir.
|
|
f(a) = b ise, f–1(b) = a dır.
f–1(b) = a ise, f(a) = b dir.
|
|
Ü
|
y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f–1(x) in grafiği
y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.
|
|
Ü
|
olmak üzere,
|
|
Ü
|
olmak üzere,
|
G. BİLEŞKE FONKSİYON
f : A ® B, g : B ® C fonksiyonları tanımlansın.
f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.
Buna göre,
f : A ® B ve g : B ® C olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
|
Ü
|
(gof)(x) = g[f(x)] tir.
|
|
Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.
Bu durumda, fog ¹ gof dir.
Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini değiştirmez.
|
|
Ü
|
Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.
Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur.
|
|
Ü
|
I birim fonksiyon olmak üzere,
foI = Iof = f ve
f–1of = fof–1 = I dır.
|
|
Ü
|
f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere,
(fog)–1 = g–1of–1 ve
(fogoh)–1 = h–1og–1of–1 dir.
|
|
Ü
|
(fog)(x) = h(x)
ise, f(x) = (hog–1)(x) dir.
ise, g(x) = (f–1oh)(x) tir.
|
|
• f–1 (x) = f(x) tir.
• (fof) (x) = x
• (fofof) (x) = f(x)
• (fofofof) (x) = x
...
|
H. FONKSİYONUN GRAFİĞİ
Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.
f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B, y = f(x)}
|
|
(a, b) Î f
olduğundan
f(a) = b dir.
Ayrıca, f–1(b) = a dır.
|
|
Ü
|
Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre,
f(–3) = 3, f(–2) = 1, f(–1) = 2, f(0) = 2, f(1) = 1,
f(2) = 0, f(3) = 2, f(4) = 1, f(5) = 0 dır.
|
|
|
|
|
