LOGARİTMA

I. ÜSTEL FONKSİYONLAR VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR

2^y = 2⁴ eşitliğini sağlayan y değerini bulmak için yapılan işleme üslü denklemi çözme denir. (y = 4)

Buraya kadar anlatılan bilgiler 6^a = 10 eşitliğini sağlayan a değerini bulmak için yeterli değildir. Bu eşitliği sağlayan a değerini bulmak için yapılan işleme logaritma alma denir.

A. ÜSTEL FONKSİYONLAR

olmak üzere,

biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon adı verilir.

a > 0 olduğundan f(x) = a^x > 0 olur.

B. LOGARİTMA FONKSİYONU

olmak üzere,

biçiminde tanımlanan üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.

şeklinde gösterilir. Buna göre,

      dir.

y = log_ax ifadesinde sayısına sayısının a tabanına göre logaritması denir ve ‘‘y eşittir a tabanına göre logaritma x ’’ şeklinde okunur.

C. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ

D. ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU

f(x) = log_ax fonksiyonunda taban a = 10 alınırsa f(x) fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir ve kısaca logx biçiminde gösterilir.

1 den büyük sayıların on tabanına göre logaritması pozitiftir.

1 den küçük pozitif sayıların on tabanına göre logaritması negatiftir.

E. DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU

f(x) = log_ax fonksiyonunda taban

ℓ = 2,718281828459045235360287471352... alınırsa (ℓ sayısı irrasyonel bir sayı olup yaklaşık değeri 2,718 kabul edilir.) doğal logaritma fonksiyonu elde edilir. Doğal logaritma fonksiyonu kısaca lnx biçiminde gösterilir. Bu durumda,

İşlemlerde genellikle log_ex yerine lnx ifadesi kullanılır.

II. LOGARİTMALI DENKLEMLER

III. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER

GRAFİKLER

y = f(x) fonksiyonunun analitik düzlemdeki (dik koordinat sistemindeki) görüntüsü olan noktalara, fonksiyonun grafiği denir.

Eğriyi ortaya koyan özel noktalar:

x eksenini kesim noktaları

y eksenini kesim noktaları

Ekstremum noktaları

Dönme noktaları

Asimptotlar

Eğrinin karakterini belirleyen özellikler:

Tanım aralığı (kümesi)

Artan ya da azalan olduğu aralıklar

Eğrilik yönünün yukarı ya da aşağı olduğu aralıklar

Bütün eğriler asimptot oluşturmaz. Diğer bir ifadeyle, bazı eğrilerin bir ya da birkaç asimptotu olabilir.

Grafik çizme zaman alan bir iş olduğu için, test sınavlarında grafik çizmeye gerek duymadan sonuca gidilebilir. Bunun yolu da eğrinin özel noktaları ya da karakteri göz önüne alınarak, seçenekleri elemektir.

GRAFİK ÇİZME STRATEJİSİ

1. Fonksiyonun tanım aralığı belirlenir.

2. Fonksiyon bir kapalı aralıkta tanımlıysa, uç noktalardaki değerleri hesaplanır.

3. Eğer periyodik ise, fonksiyonun periyodu bulunur. Esas periyotta çizim yapılır; diğer aralıklarda çizim tekrarlanır.

4. Fonksiyonun tek veya çift olup olmadığına bakılır.

    (Çift ise, x ³ 0 için çizim yapılır; oluşan görüntünün Oy eksenine göre, simetriği alınarak, çizim tamamlanır.

    Tek ise, x ³ 0 için çizim yapılır; oluşan görüntünün orijine göre, simetriği alınarak, çizim tamamlanır.)

5. Eğrinin eksenleri kestiği noktalar belirlenir.

6. Varsa, asimptotlar belirlenir.

7. Fonksiyon de tanımlıysa, için fonksiyonun limiti hesaplanır.

8. Fonksiyonun birinci türevi alınır. Böylece, fonksiyonun artan ya da azalan olduğu aralıklar belirlenir; ekstremum noktaları hesaplanır.

9. Fonksiyonun ikinci türevi alınır. Böylece, fonksiyonun eğrilik yönünün yukarı ya da aşağı olduğu aralıklar belirlenir; dönme noktaları hesaplanır.

10. Elde edilen bilgilere göre, değişim tablosu yapılır.

11. Değişim tablosuna göre, grafik çizilir.

Bazı grafiklerin çiziminde, yukarıdaki bilgilerin aynı anda hepsine ihtiyaç duyulmayabilir.

A. POLİNOM FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ

Polinom biçimindeki fonksiyonlar (–¥, +¥) aralığında tanımlıdır. Bu fonksiyonların asimptotu olmaz.

f(x) = 0 denkleminin tek katlı köklerinde eğri Ox eksenini keser; çift katlı köklerinde eğri Ox eksenine teğettir.

B. ASİMPTOTLAR

Bir eğrinin herhangi bir kolu başka bir eğriye (ya da doğruya) yakınsıyorsa, yakınsanan eğriye (ya da doğruya) asimptot denir.

Asimptotlar kendi özelliğine göre ad alır. Örneğin, düşey bir doğrudan oluşan asimptota, düşey asimptot; yatay bir doğrudan oluşan asimptota, yatay asimptot; düşey ya da yatay olmayan bir doğrudan oluşan asimptota, eğik asimptot; Bir eğriden oluşan asimptota eğri asimptot denir.

1. Düşey Asimptot

Eğri; fonksiyonun paydasının köklerinde düşey asimptotlara sahiptir.

olmak üzere, Q(x) = 0 denkleminin kökleri x₁, x₂, ..., x_n olsun. y eğrisinin düşey asimptotlarının denklemleri:

x = x₁, x = x₂, ... , x = x_n doğrularıdır.

2. Yatay Asimptot

olmak üzere, ise yatay asimptot vardır.

Yatay asimptotun denklemi, y = c dir.

Payı ve paydası 1. dereceden olan fonksiyonların simetri merkezi düşey ve yatay asimptotların kesim noktasıdır.

3. Eğik Asimptot

denkleminde P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden 1 büyük

 ise eğrisinin bir eğik asimptotu vardır.

Eğik asimptotun denklemi P(x) in Q(x) e bölümüyle bulunur.

4. Eğri Asimptot

denkleminde P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden en az 2 büyük ise eğrisinin bir eğri asimptotu vardır. Eğri asimptotun denklemi, P(x) in Q(x) e bölümüyle bulunur.

C. RASYONEL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

1. P(x) = 0 denkleminin tek katlı köklerinde kesen oluşur.

2. P(x) = 0 denkleminin çift katlı köklerinde teğet oluşur.

3. Q(x) = 0 denkleminin tek katlı köklerinde kelebek oluşur.

4. Q(x) = 0 denkleminin çift katlı köklerinde baca oluşur.

D. KÖKLÜ FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

Kökün derecesinin tek ya da çift oluşuna göre, çizim yapılır.

fonksiyonunda a < 0 ise asimptot yoktur;

a > 0 ise eğik asimptotlar görülür.

Eğik asimptotların denklemi: